Unity3d中的旋转研究

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Unity3d中的旋转研究

四元数与欧拉角

1.1 四元数概念
四元数（以后不特指四元数=单位四元数）是四维空间中一个超球上面的点，满足w²+x²+y²+z²=1；而纯四元数是四维空间在w=0时的一个子空间的点，形式为{0, q}，特别注意的是纯四元数与四元数是不同的概念。

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四元数是复数虚部扩展的结果，复数的虚部为1个，而四元数虚部有3个，且两两互相正交，其中实部是cosθ/2，而虚部为一个単位轴乘以sinθ/2。

四元数自由度并没有四个维度，由于存在w²+x²+y²+z²=1这个约束，它的自由度其实只有3，且每个四元数可以对应一个特征向量，即n。

四元数Quaternion的作用

    表示旋转，因此旋转角度计算时用到四元数。
    详细请看：

【Unity编程】Unity中关于四元数的API详解 - AndrewFan - 博客园
本文总结了Unity中关于Quaternion（四元数）的API使用方法以及给出部分示例。
https://www.cnblogs.com/driftingclouds/p/6626183.html

欧拉角概念

    欧拉角是由三个角组成，这三个角分别是Yaw,Pitch,Roll。很难翻译这三个单词，Yaw 表示绕y轴旋转的角度，Pitch表示绕x轴旋转的角度，Roll表示绕z轴旋转的角度。也就是说，任意的旋转角度都可以通过这三次按照先后顺序旋转得到。矩阵很难让人具体形象表示，欧拉角就容易多了。注意可能很多地方三个角的先后次序不一样。

1.3 四元数对于欧拉角的优点
避免万向节死锁
两个四元数之间更容易插值
能进行增量旋转
给定方位的表达式有两种，互为负。
1.4 欧拉角的万向节死锁
我们依次绕物体坐标系的X轴、Y轴、Z轴旋转,当Y轴旋转了90度之后,Z就会指向原来的X轴。这样一来,我们事实上只绕了X轴和Y轴两个轴旋转,第三根轴的自由度就丢失了。

    详细请看：

欧拉角万向节死锁 - 知乎
目录1.欧拉角2.万向节死锁—-2.1 什么是Gimbal —-2.2 Pitch、Yaw、Roll—-2.3 万向节死锁——–2.3.1 横滚——–2.3.2 俯仰——–2.3.3 偏航——–2.3.4 死锁的产生——–2.3.5 重现万向节死锁问题…
https://zhuanlan.zhihu.com/p/344050856

  1. 点乘
    概念

     点乘，也叫向量的内积、数量积。

 描述了两个向量的相似程度，结果越大两向量越相似，还可表示投影。

计算方式

    向量a·向量b=|a||b|cos<a,b>

求两个向量的夹角（用单位向量）

  1. 叉乘
    概念

     叉乘，也叫向量的外积、向量积，得到的向量垂直于原来的两个向量。

计算方式

    |向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a,b>

    A×B = -B×A

    这里点乘叉乘只记录了几何角度，详细请看：

向量的点乘和叉乘区别及几何意义
https://baijiahao.baidu.com/s?id=1736495807922098016&wfr=spider&for=pc

    详细请看：

Unity 点乘和叉乘的原理和使用_PassionY的博客-CSDN博客_点乘和叉乘运算法则
Unity当中经常会用到向量的运算来计算目标的方位，朝向，角度等相关数据，下面咱们来通过实例学习下Unity当中最常用的点乘和叉乘的使用。点乘 （又称”点积”,”数量积”,”内积”）（Dot Product, 用＊）定义：a·b=|a|·|b|cos 【注：粗体小写字母表示向量，表示向量a,b的夹角，取值范围为[0，180]】几何意义：是一条边向另一条边的投影乘以另一条边的长度.
https://blog.csdn.net/yupu56/article/details/53609028

  1. 向量归一化
    向量归一化即将向量的方向保持不变，大小归一化到1。

  2. 判断一个点在矩形内外
    详细请看：

判断点是否在一个矩形内_faithmy509的博客-CSDN博客_如何判断一个点是否在矩形内
可以用叉乘或点乘的方式来判断。代码：class Point: def init(self, x, y): self.x = x self.y = ydef GetCross(p1,p2,p): return (p2.x-p1.x)(p.y-p1.y)-(p.x-p1.x)(p2.y-p1.y)def GetDot(p…
https://blog.csdn.net/faithmy509/article/details/82803646

  1. 判断一个点在三角形内外
    1.面积法



    求三角形面积的方法就可以用上面提到的利用叉积就行了，注意记得加 上绝对值，因为叉积可能为负。还有种简单的方法是利用内角和为 180 °

    2.同侧法

    若点P在点A、B、C内，则ABXAP，BCxBP,CAxCP结果都为正(负)，则可以认为P在A、B、C内，若任意一个结果不同则P在ABC外。（因为正负看的sin夹角的大小，在两个夹角小于90°的情况下，“右手定则”来判定，即右手向第二个因数弯曲，看大拇指是否改变，同向为正，异向为负。）

  2. 判断一个对象B在对象A的前后左右（点乘叉乘应用）
    点乘前后，叉乘左右。

7.1前后判断

生成两个向量：

对象A自身为原点，指向面向前方的方向。
对象A自身为原点，指向对象B的方向。
两个向量点乘，正为B在A的前方，负为B在A的后方，0为左右两侧。

（点乘正负看向量夹角，小于90°为正，大于90°则为负，等于90°正为水平两侧）

7.2左右判断
向量A 叉乘 向量B，结果为正，B在A的左侧，结果为负，B在A的右侧。

（注意：Unity当中使用左手，因为Unity使用的是左手坐标系，叉乘方向相反）

假设向量A和B 都在xz平面上

向量A叉乘向量B

y大于0 证明B在A右侧

y小于0 证明B在A左侧

ref：https://blog.csdn.net/Sea3752/article/details/127718438

Quaternion类

Quaternion（四元数）用于计算Unity旋转。它们计算紧凑高效，不受万向节锁的困扰，并且可以很方便快速地进行球面插值。 Unity内部使用四元数来表示所有的旋转。

Quaternion是基于复数，并不容易直观地理解。 不过你几乎不需要访问或修改单个四元数参数（x，y，z，w）; 大多数情况下，你只需要获取和使用现有的旋转（例如来自“Transform”），或者用四元数来构造新的旋转（例如，在两次旋转之间平滑插入）。
大部分情况下，你可能会使用到这些函数：

  • Quaternion.LookRotation，
  • Quaternion.Angle
  • Quaternion.Euler
  • Quaternion.Slerp
  • Quaternion.FromToRotation
  • Quaternion.identity。

Quaternion 是一个结构体，本身成员变量相对简单，可以作为函数参数高效传递。

Unity默认方向

在深入了解API之前，我们需要先明确一些基本的概念，就是方向、旋转究竟是如何表示的。
Unity中使用左手坐标系，假如把世界坐标系跟东南西北进行结合起来看，大致如下图所示：

方向
默认的方向对应如下表：

坐标轴 对应方向
+x 右(东)
-x 左(西)
+y 上
-y 下
+Z 前(北)
-Z 后(南)

假设以你自己身体为例，你站立在地面上，面朝北方，此时就是默认方向，也就是Unity中的方向就是面向+Z轴方向，那么此时+X轴在东方，+Y轴对应正上方。此时对应的欧拉角是(0,0,0),此时对应的前方矢量是(0,0,1)，上方矢量是(0,1,0)。

这里我区分了左右上下前后的概念，因为这些概念同时也对应了Vector3类、Transform类中的相应的方向函数。

方向的表示法

①欧拉角表示法

假如你使用一组欧拉角表示旋转,XYZ三个参数代表相应轴向按照顺归YZX的旋转，因此(0、90、90)代表先进行+Z轴旋转90度，再沿着+Y轴进行90度旋转，更多详细内容可以参考前述文章《【Unity编程】Unity中的欧拉旋转》。

②前方上方矢量界定法

编程过程中，大部分需要明确指定方位的时候就需要使用这个方法。要确定一个朝向，我们可以使用两个向量来确定：即前方矢量和上方矢量。当一个朝向的前方和上方确定之后，这个朝向也就完全确定了。
举例来说，如果现在只提供一个朝向，就是你现在面朝北方，那么这个方向已经完全确定了吗？显然没有。因为你右侧躺在地上，看向北方，还是在面朝北方，这时候就需要另外一个矢量，也就是上方。当给出上方之后，这个朝向就完全确定了。

上方需要严格给出吗？

在Unity中，我们很多时候，不需要给出严格的上方朝向。比如，仍然是上面那个例子，如果我面朝北方，先给出(0,0,1)代表我的前方矢量。那么，如果我给出的方向不是严格的上方矢量，比如是(0,0.5,0.5)，是否可以？答案也是可以的，因为这两个矢量显然已经确定了一个方向，前方是严格的，而实际的上方可以通过前方朝着你给出的上方矢量旋转90度得出。也就是说，你给(0,1,0)作为上方矢量，和给出在下图中弧度范围内(不包含+Z和-Z)所有方向的矢量都是相同的结果。

上方矢量参数范围

③绕轴旋转界定法

第三种定义旋转的方法就是围绕某个指定的轴向旋转一定的角度。这个方法也可以确定一个相对旋转，它以从默认方向(此时前方+Z，上方+Y)出发，沿着指定的轴向进行指定角度的旋转，旋转后的前方和上方是确定的。因此这个方法也可以用来确定朝向。

④A向到B向相对旋转表示法

还有一种方法就是从A向到B向的相对旋转，这种表示了一个旋转的相对变化。比如A为(0,1,0)，B为(0,0,1)，也就是相对旋转量代表原来的上方被旋转到了前方，这样的一个四元数也可以用欧拉角表示成(90,0,0)，也就是沿着+X轴旋转了90度。

注意上面四中表示方法中，有的明确表明了上方矢量，有的好像只明确了前方矢量，要明确的一点就是，它们都是从默认矢量出发的，如果没有明确指定上方朝向，那么就是使用默认的上方，也就是+Y方向。

成员变量

  • eulerAngles 欧拉角，返回当前四元数所对应的欧拉角
  • this[int] 可以使用类似数组和下标的形式从四元数中获取四个四元数参数
  • x、y、z、w 分别代表x、y、z、w 参数，具体代表的内容可以参考前文《【Unity编程】四元数(Quaternion)与欧拉角》，你最好不要通过修改四个参数来改变四元数，除非你真的非常了解它们的含义。

静态成员

  • identity 单位四元数，也就是默认的无旋转状态，此时与世界坐标相同，前方指向+Z，上方指向+Y

成员函数

函数形式 解释
void Set(float new_x, float new_y, float new_z, float new_w) 设置x、y、z、w 分量，与this[]功能相同
void SetFromToRotation(Vector3 fromDirection, Vector3 toDirection) 设置成静态函数FromToRotation的结果
void SetLookRotation(Vector3 view, Vector3 up = Vector3.up) 设置成静态函数LookRotation的结果
void ToAngleAxis(out float angle, out Vector3 axis) 设置成静态函数AngleAxis的结果

说明：成员函数几个set方法多用于将当前四元数设置成目标四元数，目标四元数的构建方法与对应名称的静态函数相同。

静态函数

函数形式 解释
static float Angle(Quaternion a, Quaternion b) 计算两个四元数前方矢量之间的夹角度数
static Quaternion AngleAxis(float angle, Vector3 axis) 构建一个四元数，它表示沿着一个轴旋转固定角度，即上述表示法③
static float Dot(Quaternion a, Quaternion b) 计算两个四元数之间的点积，返回一个标量，这个函数一般用不到，它的点积不代表什么具体的物理含义，具体定义方法见我的前述文章
static Quaternion Euler(float x, float y, float z) 构建一个四元数，它用欧拉旋转表示，即上述表示法①
static Quaternion FromToRotation(Vector3 fromDirection, Vector3 toDirection) 构建一个四元数，它表示从指向fromDirection方向到指向toDirection方向的相对旋转量，见上述表示法④
static Quaternion Inverse(Quaternion rotation) 构建一个四元数，它是指定的四元数的逆，也就是逆向旋转，比如原四元数表示相对+X轴旋转了90度，那么此函数结果就是相对+X轴旋转了-90度
static Quaternion Lerp(Quaternion a, Quaternion b, float t) 构建一个四元数，表示从四元数a到b的球面插值，所谓的插值也就是中间旋转量，从a作为起点，此时对应t为0，到b为终点，此时对应t为1。当t取0-1之间的小数时，就代表了中间的插值结果。这个方法与Slerp相同，计算速度快，但是精度低，如果相对旋转变化量很小，则效果不理想
static Quaternion LerpUnclamped(Quaternion a, Quaternion b, float t) 与Lerp相同，区别是，Lerp的t值会被钳制在[0,1]之间，而此方法则不会，t允许超出计算
static Quaternion LookRotation(Vector3 forward, Vector3 upwards = Vector3.up) 构建一个四元数，使用前方上方矢量确定朝向，也就是上述表示法②
static Quaternion RotateTowards(Quaternion from, Quaternion to, float maxDegreesDelta) 构建一个四元数，表示从一个四元数from(的前方)向着另外一个四元数(的前方)旋转，但不能超出指定的角度，也就是如果两个前方矢量夹角超过指定角度，则旋转到达指定角度时就停止，若是夹角本身不足的话，则结果直接为目标四元数to，与上述表示法④的意思很接近
static Quaternion Slerp(Quaternion a, Quaternion b, float t) 球面插值，与Lerp功能相同，t值也被钳制，计算精度高，但是速度相对较慢
static Quaternion SlerpUnclamped(Quaternion a, Quaternion b, float t) 与Slerp功能相同，只是t值不被钳制，允许超出计算
static Quaternion operator * (Quaternion lhs, Quaternion rhs) 乘法运算符重载，当表示两个连续的旋转时，可以使用lhs * rhs的形式得出连续旋转的结果,lhs为左值，rhs为右值。注意左值是先进行的旋转，叠加右值旋转。用法示例:lhs = lhs * rhs;
static Vector3 operator *(Quaternion rotation, Vector3 point) 乘法运算符重载，表示对一个矢量point施加旋转rotation，得出旋转后的结果矢量。用法示例:Vector3 result=rotation * point

验证前方上方矢量表示法

为了验证前方上方矢量表示法的实际上方会重新计算，我设计了以下小实验。

小实验

在场景中设置三个物体，它们的朝向是打乱的，从左到右分别对应1、2、3。可以使用以下代码将三个物体朝向调整为一致。

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//前方上方矢量界定法的实际上方会重新计算
m_t1.transform.rotation = Quaternion.LookRotation(Vector3.forward, Vector3.up);
m_t2.transform.rotation = Quaternion.LookRotation(Vector3.forward, new Vector3(0,0.5f,-0.5f));
m_t3.transform.rotation = Quaternion.LookRotation(Vector3.forward, new Vector3(0,0.5f,0.5f));

在start方法中执行上述代码后，如下：

小实验结果

三个物体朝向是一致的，也就说明了上方矢量确实是进行了重新计算。

总结几种表示方法

下面使用代码总结几种表示法，对应同样的四元数，大致有四种表示方法。

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//旋转量的4种表示形式

Quaternion q1=Quaternion.Euler(90, 0, 0);
Quaternion q2 = Quaternion.LookRotation(Vector3.down ,Vector3.forward);
Quaternion q3 = Quaternion.AngleAxis(90,Vector3.right);
Quaternion q4 = Quaternion.FromToRotation(Vector3.up, Vector3.forward);
showQ("q1",q1);
showQ("q2",q2);
showQ("q3",q3);
showQ("q4",q4);

它们的输出结果是：

几种表示法结果

也就是说，这几种形式表示的四元数结果完全相同。

将四元数旋转应用于子弹射击示例

当枪管转动起来，子弹仍然沿着正确的朝向发射出去，可以使用很简单的几句话，修改之前的代码后如下：

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Bullet_2 bullet = m_compPool.takeUnit<Bullet_2>();
//发射时，将子弹的初始位置为枪口的当前位置
bullet.m_transform.position = m_transform.position;
//将子弹的初始化旋转设置为指向当前枪口前方
bullet.m_transform.rotation = Quaternion.LookRotation(m_transform.forward);

旋转射击

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